В северном дворе исфаханского имамзаде Дарб-и Имам, над одной из арок, есть треугольное поле изразцовой мозаики — то, что архитекторы называют пазухой арки. Издали на нём читается крупный рисунок: широкие линии очерчивают несколько огромных десятиугольников и соединяющие их фигуры, похожие на галстук-бабочку. Стоит подойти ближе, и крупный рисунок перестаёт держать взгляд: поле заполнено мелкой вязью из десятилучевых звёзд, пятиугольников и вытянутых шестиугольников. Странность обнаруживается не сразу. Мелкий узор составлен из тех же фигур, что и крупный, только уменьшенных примерно в восемь с половиной раз, и линии большого рисунка проходят сквозь малый, нигде не нарушая его логики. Мастер работал одновременно в двух масштабах одного геометрического языка.
Пазуха арки в северном дворе Дарб-и Имама, Исфахан: правая половина поля с двухуровневым узором гирих (Lu, Steinhardt 2007, рис. 3A).
Само по себе это ещё не повод звать математиков. Обычный орнамент на стене устроен как обои: достаточно нарисовать один фрагмент — элементарную ячейку — и повторять его, сдвигая вправо, влево, вверх и вниз, пока не кончится стена. Узор, который совмещается сам с собой при таком сдвиге, обладает трансляционной симметрией, то есть периодичен. Но у периодичности есть жёсткое и неочевидное следствие. Если периодический узор совпадает сам с собой после поворота вокруг какой-нибудь точки, угол этого поворота может составлять лишь половину, треть, четверть или шестую часть полного оборота. Поворотов на пятую или десятую часть круга периодический рисунок не допускает. Строгое доказательство этого кристаллографического ограничения появилось в XIX веке, хотя на опыте его знает любой, кто пытался выложить пол правильными пятиугольниками: они не смыкаются без щелей.
Мастера исламского мира десятилучевые звёзды тем не менее любили и веками ставили их на стены. Ограничение они обходили изящно: звезда обладает собственной десятикратной симметрией, но сами звёзды расставлены по узлам решётки из ромбов с углами 72 и 108 градусов, и решётка эта повторяется. Вблизи кажется, что вокруг каждой звезды царит пятикратный порядок, а весь орнамент в целом совпадает с собой лишь при повороте на пол-оборота. Так устроен, например, узор на мемориальном комплексе Ходжи Абдуллаха Ансари в Газаргахе под Гератом, возведённом в 1425–1429 годах. Отыскать там повторяющуюся ячейку нетрудно.
На исфаханской пазухе её найти не удаётся. В видимом фрагменте большого рисунка помещается лишь горстка десятиугольников и «бабочек», и ни одна их комбинация не повторяется с параллельным сдвигом. Это само по себе ничего не доказывает: фрагмент мог бы оказаться кусочком периодического узора со слишком крупной ячейкой. Однако две вещи — отсутствие видимого повтора и точное воспроизведение одного и того же набора фигур в двух масштабах — вместе указывают на совершенно другой способ упорядочить плоскость. Математика научилась строго описывать такой способ лишь во второй половине XX века.
Человек, который всерьёз задал этот вопрос, пришёл к нему не из искусствоведения. В 2005 году аспирант-физик Гарвардского университета Питер Лу путешествовал по Узбекистану и в Бухаре надолго задержался у стены медресе XV века с десятилучевыми звёздами. Глаз у него был натренирован особым образом. Ещё студентом Принстона он искал в природе квазикристаллы — твёрдые тела с запрещённой для кристаллов симметрией, — а в 2001 году вместе со своим научным руководителем Полом Стейнхардтом, геологом Кеннетом Деффейесом и Нань Яо опубликовал в Physical Review Letters методику систематического поиска природных квазикристаллов среди минералов. Позже Лу вспоминал известную пастеровскую мысль о случае, который благоволит подготовленному уму. Человек, годами всматривавшийся в узоры с пятикратной симметрией, увидел на бухарской стене не только звёзды, но и то, что их связывает, и сразу вспомнил мозаики Пенроуза.
Портал медресе Абдулла-хана в Бухаре (1588–1590). Снимок из исследовательского архива Питера Лу.
Портал медресе Мири-Араб в Бухаре (XVI век). Снимок из того же архива.
Чтобы понять, почему ассоциация была почти неизбежной, нужно отступить на полвека назад, к задаче, которая поначалу не имела никакого отношения ни к орнаменту, ни к кристаллам. В 1961 году логик Хао Ван изучал разрешимость одного класса формул математической логики и свёл его к задаче о плитках: даны квадраты с окрашенными сторонами, класть их можно, не поворачивая, только так, чтобы соседние стороны совпадали по цвету. Можно ли такими плитками покрыть всю плоскость? Ван предположил, что всякий набор, способный замостить плоскость, способен замостить её и периодически. Из этой гипотезы следовало бы существование алгоритма, который для любого набора за конечное время решает, замостит ли он плоскость. Гипотеза выглядела правдоподобной: казалось, что бесконечный узор без повторений невозможно удержать конечным числом правил.
Плитки Ванга — квадраты с окрашенными сторонами, которые стыкуются только одинаковыми цветами.
Она оказалась ложной. Роберт Бергер в диссертации 1964 года и в мемуаре Американского математического общества 1966 года доказал, что задача о замощении алгоритмически неразрешима, а попутно построил первый апериодический набор — набор плиток, которые покрывают плоскость, но ни при каком расположении не дают периодического узора. Плиток в нём было 20 426. Здесь важно различение, которое в популярных пересказах обычно теряется. Непериодическое замощение умеют давать и самые обычные плитки: прямоугольники можно выложить так, что узор нигде не повторится, но те же прямоугольники легко сложить и в правильный паркет. Апериодический набор устроен строже: периодическое расположение для него запрещено самой формой и правилами плиток. Затем начался спуск по числу элементов. Сам Бергер уменьшил набор до 104 плиток, Ханс Лойхли в 1966 году нашёл набор из 40, а Рафаэль Робинсон в 1971 году предложил шесть плиток уже не квадратной, а более сложной формы, с выступами и выемками.
Шесть плиток Робинсона (1971): апериодический набор с выступами и выемками на краях.
В эту гонку в 1973 году включился оксфордский математик и физик Роджер Пенроуз. Его первый набор, описанный в 1974 году, состоял из шести плиток, выросших из правильного пятиугольника; у этой конструкции был отдалённый предшественник — конечный пятиугольный узор, который Иоганн Кеплер поместил в «Гармонию мира» в 1619 году. В том же 1974 году Пенроуз довёл число плиток до двух. Пару назвали «воздушным змеем» (kite) и «дротиком» (dart); чуть позже появилась вторая пара — толстый и тонкий ромбы. Сами по себе змей и дротик могут сложиться и в периодический узор, поэтому на их края наносят метки: стыковать плитки разрешено, только если метки совпадают. Эти правила сопряжения (matching rules) и делают набор апериодическим. Статья Пенроуза вышла в «Бюллетене Института математики и её приложений» под скромным названием о роли эстетики в чистой и прикладной математике, а широкая публика узнала о новых плитках в январе 1977 года, когда Мартин Гарднер посвятил им свою колонку в Scientific American, рассказав и о свойствах, выявленных вместе с Джоном Конвеем.
Первая мозаика Пенроуза (P1) из шести типов плиток, выросших из правильного пятиугольника.
Роджер Пенроуз на мозаике собственного изобретения в Техасском университете A&M, 2010.
Главных свойств у мозаик Пенроуза два, и оба понадобятся в исфаханской истории. Первое — иерархичность. Каждую плитку можно разрезать на меньших змеев и дротиков, и получится правильная мозаика того же типа, только мельче; обратная операция, сборка мелких плиток в крупные, тоже всегда возможна. Повторяя её, получают узор, в котором один и тот же порядок воспроизводится на всё больших масштабах. Эту операцию называют инфляцией, а построенные так узоры — подстановочными замощениями. Второе свойство — золотое сечение. Отношение диагонали правильного пятиугольника к его стороне равно τ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618; поскольку змей и дротик вырезаны из пятиугольной геометрии, это число входит в их размеры, служит коэффициентом инфляции, и к нему же стремится отношение числа змеев к числу дротиков в бесконечно растущей мозаике. Отношение иррационально, и это прямое свидетельство отсутствия периода: в периодическом узоре доли всех плиток выражаются отношениями целых чисел.
Мозаика Пенроуза из толстых и тонких ромбов (P3).
Последовательное разбиение ромбов Пенроуза на меньшие: иерархическая структура мозаики (анимация).
При всём этом мозаика Пенроуза не хаотична. Любой её конечный фрагмент встречается снова и снова, причём на ограниченном расстоянии от любой точки; по малому куску нельзя сказать, из какой части бесконечной мозаики он вырезан. Локальный порядок полный, повторяемость фрагментов есть, а параллельного сдвига, переводящего всю картину в себя, нет. Такой порядок и называют квазипериодическим. О том, насколько глубокой оказалась эта область, говорит хотя бы то, что вопрос о единственной плитке, которая сама по себе замощает плоскость только непериодически, оставался открытым до 2023 года, когда Дэвид Смит, Джозеф Майерс, Крейг Каплан и Хаим Гудман-Штраус представили свою «шляпу».
Апериодическая одиночная плитка «шляпа» Смита, Майерса, Каплана и Гудман-Штрауса (2023) в составе замощения.
Физика вошла в эту историю 8 апреля 1982 года. Дан Шехтман, профессор хайфского Технион, работавший тогда в Национальном бюро стандартов США, рассматривал в электронном микроскопе быстро охлаждённый сплав алюминия с марганцем и получил дифракционную картину с десятикратной симметрией. В лабораторном журнале он поставил рядом с номером снимка три вопросительных знака. Резкие пятна на дифрактограмме означают дальний порядок, то есть согласованное расположение атомов на больших расстояниях, а дальний порядок тогда считали синонимом периодичности — и кристаллографическое ограничение запрещало периодическому кристаллу именно такую симметрию. Первая рукопись, написанная с Иланом Блехом, была отклонена; переработанный вариант при участии Джона Кана и Дени Гратиа вышел в Physical Review Letters 12 ноября 1984 года. Шесть недель спустя, 24 декабря, в том же журнале появилась теоретическая работа Дова Левина и Пола Стейнхардта, которые связали дифракционные картины Шехтмана с трёхмерными аналогами мозаик Пенроуза и ввели само слово «квазикристалл». Лайнус Полинг до конца жизни отрицал существование квазикристаллов, Международный союз кристаллографов в итоге пересмотрел определение кристалла, а в 2011 году Шехтман получил за своё открытие Нобелевскую премию по химии.
Квазикристалл Ho–Mg–Zn в форме пентагонального додекаэдра.
Здесь нужно развести три понятия, которые в разговорах об исламском орнаменте постоянно путают. Апериодический набор — свойство набора плиток, математический факт о том, какие узоры из них вообще можно сложить. Квазипериодичность — свойство конкретного бесконечного узора, сочетающего полный локальный порядок с отсутствием периода. Квазикристалл — физическое вещество, атомы которого расположены квазипериодически, что проявляется в резких дифракционных пятнах с запрещённой симметрией. Мозаика Пенроуза — геометрическая модель, позже оказавшаяся удобной для описания квазикристаллов; открыл квазикристаллы не Пенроуз, а Шехтман, и сделал он это на десятилетие позже. Стена же, сколь угодно искусно выложенная, остаётся плоским рисунком конечных размеров, а не веществом с атомной структурой.
Теперь понятно, к кому обратился Лу, вернувшись в Гарвард. Его бывший научный руководитель был одним из тех двух людей, что придумали квазикристаллам имя. Через два года после статьи об исламских орнаментах та же пара вместе с Лукой Бинди и Нань Яо опишет первый природный квазикристалл — зёрна алюминиево-медно-железного сплава в образце из Корякского нагорья. Лу, по собственному рассказу, просидел первую ночь за разметкой бухарских узоров, а затем принялся за тысячи фотографий построек Ирана, Ирака, Турции, Афганистана и Узбекистана, в том числе из архива библиотеки изящных искусств Гарвардского колледжа. В благодарностях будущей статьи на первом месте стоят историк исламской архитектуры Гюльру Неджипоглу и Джон Сперр; работу поддержала Программа Ага-хана по исламской архитектуре в Гарварде.
Рукопись поступила в Science 25 сентября 2006 года, была принята 22 декабря и вышла 23 февраля 2007 года: Peter J. Lu, Paul J. Steinhardt, «Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture», том 315, выпуск 5815, страницы 1106–1110, DOI 10.1126/science.1135491. Пять страниц текста и восемь дополнительных иллюстраций в электронном приложении. Тезис в аннотации сформулирован в три шага. Принято считать, писали авторы, что узоры гирих задумывались как сеть зигзагообразных линий, которые чертили прямо циркулем и линейкой. К 1200 году, по их мнению, произошёл концептуальный прорыв: гирих стали понимать как замощение особым набором равносторонних многоугольников, «плиток гирих», украшенных линиями. Эти плитки позволили создавать всё более сложные периодические узоры, а к XV веку метод замощения соединили с самоподобными преобразованиями и получили почти совершенные квазикристаллические узоры Пенроуза — за пять столетий до их открытия на Западе.
Слово, вынесенное в центр этого утверждения, старше любых плиток. Персидское گره (гирих, в современном произношении гере) значит «узел». Ремесло называли гирих-сази и гирих-чини, «деланием узлов», и слово точно передаёт зрительный эффект: прямые ленты пересекаются и сплетаются в узлах, где сходятся линии. В османском турецком термин закрепился за многоугольными ленточными узорами в архитектуре уже в конце XV века. Персидская ремесленная традиция выработала и собственную номенклатуру: повторяющаяся единица узора называется ваги́ре, звезда — шамсе. Европа долго не знала, что с этим делать: Неджипоглу показала, как ориенталисты XIX века механически зачислили гирих в подвид «арабески» наряду с растительным и каллиграфическим орнаментом. А вот выражение «плитки гирих» (girih tiles) — современное. Его ввели Лу и Стейнхардт в 2007 году, и в средневековых источниках у него нет прямого соответствия.
Какую задачу должны были решать эти плитки, видно на том же газаргахском узоре. Простой периодический рисунок с десятилучевыми звёздами строится прямым черчением: окружность делят на десять равных частей, соединяют каждую третью точку и получают звезду, которую Лу и Стейнхардт обозначают {10/3}; звезду вписывают в прямоугольник ячейки, линии продолжают до пересечения с линиями соседей, лишнее стирают. Но в средневековой архитектуре встречаются и куда более сложные десятиугольные узоры, где ячейка содержит сотни звёзд, а одни и те же мотивы повторяются в нескольких масштабах. Чертить сотни таких звёзд по отдельности, утверждали авторы, было бы мучительно долго, и ошибки в углах неизбежно накапливались бы, искажая размеры и ориентацию. Таких искажений в изученных узорах они не нашли.
Выход, по их реконструкции, состоял в том, чтобы перестать думать о линиях и начать думать о многоугольниках, на которые узор опирается. Если в газаргахском рисунке в каждой точке пересечения двух лент, не принадлежащих звезде, разделить пополам тупой угол в 108 градусов и продлить биссектрисы до встречи, на плоскости проступят три фигуры: десятиугольник с вписанной звездой, вытянутый шестиугольник с рисунком, напоминающим летучую мышь, и «бабочка» с двумя смотрящими в разные стороны четырёхугольниками. Та же процедура, применённая к узору Большой мечети в Нейризе (около XV века), даёт ещё две фигуры: пятиугольник с пятиконечной звездой и ромб с рисунком-«бабочкой». Пять многоугольников — правильный десятиугольник, правильный пятиугольник, вытянутый шестиугольник (elongated hexagon), невыпуклый шестиугольник-«бабочка» (bowtie, буквально «галстук-бабочка») и ромб (rhombus) — и составили набор, названный плитками гирих.
Их общая геометрия проста и красива. Все стороны всех пяти фигур равны. Углы десятиугольника — по 144 градуса, пятиугольника — по 108; у вытянутого шестиугольника два угла по 72 и четыре по 144; у «бабочки» четыре острых угла по 72 и два входящих по 216; у ромба углы 72 и 108. Каждый угол кратен 36 градусам. Декоративные линии пересекают середину каждой стороны, образуя между собой углы 72 и 108 градусов, и поэтому при стыковке двух плиток сторона к стороне линия переходит с одной плитки на другую, не меняя направления. Из этого вытекает следствие, которое и делает систему столь продуктивной: все отрезки готового узора, из каких бы плиток он ни был собран, параллельны сторонам одного правильного пятиугольника. Десятиугольная геометрия навязывается сама собой, без единого дополнительного построения. Собственные симметрии рисунков на плитках различны: у десятиугольника десятикратная, у пятиугольника пятикратная, у трёх остальных — лишь двукратная.
Пять плиток гирих по Lu и Steinhardt: десятиугольник, пятиугольник, вытянутый шестиугольник, «бабочка» и ромб с декоративными линиями.
Отсюда — самое практичное предложение статьи и одновременно то, которое пресса превратила в главную новость. Несколько плиток в натуральную величину, писали Лу и Стейнхардт, могли бы служить шаблонами, помогая размечать декоративные линии на поверхности здания быстро и точно, причём мастерам не нужно было бы понимать математические свойства системы. Сослагательное наклонение здесь существенно. Физических плиток-шаблонов не найдено: ни в раскопках, ни в мастерских, ни в описях. Сам Лу в комментарии журналу Nature признал, что не располагает свидетельствами того, что такие плитки изготавливали. Заголовки следующего дня звучали иначе: исламские узоры будто бы собирали не циркулем и линейкой, как считалось прежде, а из небольшого набора плиток сложной формы.
Противопоставление «плитки против циркуля» не выдерживает проверки и самой статьёй. Чтобы начертить правильный десятиугольник или пятиугольник, нужно разделить окружность на пять равных частей — это построение циркулем и линейкой. Лу и Стейнхардт подчёркивали, что каждая плитка достаточно проста, чтобы её можно было начертить инструментами, описанными в средневековых исламских источниках, и в примечании перечислили их: деление отрезка пополам, деление окружности на пять равных частей, разрезание и перекладывание бумажных фигур. Плитки, если ими пользовались, не отменяли циркуль, а ложились поверх него как следующий уровень проектирования. Иначе говоря, циркуль строит плитку, плитка строит узор.
К тому же сама идея многоугольной подосновы не была новой. В начале XX века английский бактериолог Эрнест Хэнкин, работая в Индии, заметил процарапанные в штукатурке многоугольные сетки под готовыми узорами и описал метод, который назвал «многоугольниками в соприкосновении» (polygons in contact): плоскость сначала замощают многоугольниками, затем в середине каждой стороны ставят пару коротких линий крест-накрест и продлевают их до встречи с соседними. Угол, под которым линии пересекают сторону, мастер выбирает сам; у плиток гирих он составляет 54 градуса. Исследователь исламского орнамента Джей Боннер, много лет отстаивающий этот «многоугольный метод», считает его единственным, использование которого историки могут подтвердить свидетельствами по всему исламскому миру; рядом с ним существовал и метод соединения точек на заранее размеченной сетке, удобный скорее для копирования готовых образцов. На этом фоне плитки гирих выглядят частным, хотя и очень удачным, случаем многоугольного метода для десятиугольного семейства узоров.
Да и пять — число не сакральное. Ливерпульский математик Питер Кромвелл, разобрав тот же круг орнаментов, выделил исторический набор из семи фигур с углами, кратными 36 градусам: ромб, правильный пятиугольник, два разных шестиугольника, «бабочку», восьмиугольник и правильный десятиугольник, причём шестиугольник и десятиугольник встречаются с двумя вариантами рисунка. Вытянутый шестиугольник Лу и Стейнхардта у Кромвелла получил имя «шпулька» (bobbin): мотив на нём похож на катушку с намотанной пряжей. Кромвелл согласился, что переход от вспомогательных фигур к самостоятельным элементам композиции стал важной вехой, позволившей собирать узор, как головоломку, наращивая край без заранее заданного плана, и отнёс это нововведение к сельджукской эпохе, XII–XIII векам, в Анатолии и Иране. Широкое и последовательное употребление таких плиток он признал наблюдением Лу и Стейнхардта, оговорив, что сходные замечания встречались у Боннера и даже у Хэнкина.
Разговор о методе приходится вести с четырьмя разными предметами, и смешивать их нельзя. Физический инструмент — деревянные или картонные шаблоны в руках мастера — не засвидетельствован. Исторический метод проектирования — многоугольная сетка, по которой проводят линии узора, — засвидетельствован надёжно. Реконструированная система — именно пять плиток с определённым рисунком — представляет собой обобщение исследователей, хорошо описывающее большой класс орнаментов, но не единственно возможное. Современная математическая модель — подстановочные замощения с их матрицами и собственными значениями — принадлежит XX веку целиком. Главным свидетельством в пользу второго пункта служит рукопись, которую Лу и Стейнхардт назвали прямым историческим документом.
Это свиток из библиотеки музея-дворца Топкапы в Стамбуле, шифр MS H.1956. Он склеен из отдельных листов в непрерывную полосу высотой около 33 сантиметров и длиной почти 30 метров (точнее, 29,5 метра) и хранится намотанным на деревянный валик. На нём 114 чертежей: проекции мукарнов — сталактитовых сводов, — каллиграфические панно и повторяющиеся единицы геометрических узоров. Текста нет вовсе, нет ни даты, ни подписи. Широкому кругу исследователей свиток представила в 1986 году Филиз Чагман из библиотеки Топкапы, а в 1995 году Неджипоглу опубликовала его полное факсимиле с монографическим исследованием, в котором датировала свиток концом XV или началом XVI века и связала с тимуридско-туркменской архитектурной практикой западного Ирана, вероятнее всего с Тебризом. Ценность свитка в том, что он показывает не только готовые узоры, но и строительные линии: тонкие красные пунктиры многоугольных сеток и «мёртвые» линии, процарапанные стилом и видимые лишь при боковом освещении, которые Неджипоглу нанесла на свои схемы.
На панели 28 под мелким узором, начерченным чёрной линией, красным пунктиром проведена сетка из тех самых пяти фигур; Лу и Стейнхардт раскрасили в ней по одному экземпляру каждой плитки. На той же панели красной сплошной линией проведён второй, крупный узор. Кромвелл восстановил скрытую под ним крупную сетку и показал, что на панелях 28, 31, 32 и 34 крупные фигуры последовательно разбиваются на мелкие по одному и тому же правилу с коэффициентом 3 + √5 ≈ 5,24 — наблюдение, которого, по его словам, прежде никто не делал. Значит, двухуровневые узоры, построенные подразбиением, были частью ремесленного репертуара, записанного на бумаге. Однако тот же разбор показал и предел: для пятиугольника и «бабочки» подходящего подразбиения не существует, поэтому повторить операцию ещё раз по правилам свитка невозможно. Свиток документирует многоугольные сетки, начерченные на бумаге, а не набор вырезанных плиток; назначение сеток в нём нигде не объяснено, хотя видеть в них строительные линии вполне разумно. И есть хронологическое затруднение: если исфаханская пазуха относится к 1453 году, свиток моложе её на несколько десятилетий и свидетельствует о традиции, а не о методе конкретной мастерской.
Панель 50 свитка Топкапы: чёрной линией — узор гирих, тонкими красными линиями — контуры плиток, на которых он построен.
Сама традиция гораздо старше и Исфахана, и свитка. Ранние исламские геометрические узоры строились на стандартных квадратных и треугольных сетках с шести-, восьми- и двенадцатиконечными звёздами; ромбическая решётка позволила включить в репертуар звёзды с десятью лучами. Узор с той же десятилучевой звездой, что в Газаргахе, Лу и Стейнхардт нашли на сельджукской Пятничной мечети в Ардестане (около 1160 года). Около 1200 года в Анатолии появляются узоры, в которых пятиугольные мотивы повторяются вовсе без десятиугольных звёзд, задающих исходные углы для прямого черчения: таков мавзолей Мама-Хатун в Терджане, такова Большая мечеть Малатьи; сюда же Лу и Стейнхардт отнесли медресе в Зузане (1219) и резную деревянную дверь XIII века из Коньи, хранящуюся в берлинском Музее исламского искусства. Их легко получить, складывая только «бабочки» и вытянутые шестиугольники, и трудно — прямым черчением.
Самым сильным ранним аргументом авторы считали Гумбад-и Кабуд, «Голубой купол» в Мараге на северо-западе Ирана. Надпись на нём, восстановленная по отпечаткам утраченных изразцовых букв, даёт 593 год хиджры, то есть 1196–1197 годы. Широкая орнаментальная полоса, опоясывающая башню, заполнена сеткой из десятиугольников, шестиугольников, «бабочек» и ромбов, и в пределах одной панели узор не повторяется: ячейка этого периодического замощения охватывает две панели целиком. Поверх основного рисунка из крупного кирпича проложен второй, из мелкого, и внутри каждого шестиугольника, ромба или «бабочки» он обладает двукратной, а не пятикратной симметрией. Прямым черчением по пятиугольной сетке такое не получить, а с плитками, на которые нанесено по два рисунка, — легко. Именно этот двойной узор Лу и Стейнхардт сочли весомым доводом в пользу метода плиток. Историк искусства Кэрол Бир позже указала на досадную деталь: в статье башня названа восьмигранной, тогда как она десятигранная, и этого не заметили ни Лу со Стейнхардтом, ни их предшественники, изучавшие ту же башню. Работая по старым фотографиям, в том числе по снимку Антона Севрюгина 1870-х годов, легко ошибиться в числе граней, но для памятника, чей орнамент построен на десятиугольнике, такая деталь не случайна.
Маршрут десятиугольного орнамента проходит через весь исламский мир, и у каждого памятника своя династия и своя мастерская. Аббасидское медресе Мустансирия в Багдаде (1227–1234), ильханидский мавзолей Олджейту в Султании (1304), мамлюкские Кораны каллиграфов Сандала (1306–1315) и Айдугди ибн Абдаллаха аль-Бадри (1313), тимуридский мавзолей Туман-ака в ансамбле Шахи-Зинда в Самарканде (1405), раннеосманская Зелёная мечеть в Бурсе (1424), исфаханское святилище Дарб-и Кушк (1496), могольский мавзолей Итимад-уд-Даула в Агре (около 1622) — во всех этих местах встречаются узоры, которые раскладываются на плитки гирих. На западе, в насридской Гранаде и в Марокко, Эмиль Маковицкий с соавторами искал подобие мозаик Пенроуза в десятиугольных панно, а в севильском Алькасаре сохранились двухуровневые композиции с восьмикратной симметрией, построенные не на золотом сечении, а на пропорции √2. Называть всё это «персидским» или «арабским» орнаментом было бы неверно: перед нами общий язык, на котором говорили мастера сельджукской Анатолии, Аббасидского Ирака, ильханидского и тимуридского Ирана, Мамлюкского Египта и Могольской Индии.
Возникает вопрос, откуда ремесленники брали геометрию. Здесь источники немногочисленны, но говорят конкретно. Абу-ль-Вафа аль-Бузджани родился в 940 году в Бузджане близ Нишапура, девятнадцатилетним перебрался в Ирак и стал одним из ведущих математиков и астрономов при буидском дворе в Багдаде. Он написал «Книгу о том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений» (Китаб фи ма йахтаджу илайхи ас-сани‘ мин а‘мал аль-хандаса), сохранившуюся в арабском и персидских списках; на русском языке она вышла в переводе С. А. Красновой в 1966 году. Абу-ль-Вафа сообщает, что участвовал во встречах математиков с ремесленниками. На одних математики объясняли начала и приёмы геометрии, на других вместе с мастерами разрабатывали построения плоских и объёмных орнаментов или советовали, как применить геометрию в строительстве. В главе о делении и составлении квадратов он описывает характерный конфликт: из трёх равных квадратов нужно сложить один. Ремесленники предлагали разрезы, которые дают фигуру лишь приблизительно квадратную; геометры отвечали ссылкой на теорему Пифагора, которая для мастера с ножницами бесполезна. Абу-ль-Вафа заметил, что ошибаются и те и другие: геометры — от недостатка практики, ремесленники — от незнания доказательства, и предложил решение, одновременно точное и пригодное для работы руками.
Второй источник — анонимный персидский трактат «О взаимопроникновении подобных или соответственных фигур» (Фи тадахул аль-ашкал аль-муташабиха ау аль-мутавафика), сохранившийся в рукописи Национальной библиотеки Франции Persan 169 на листах 180r–199r, вслед за персидским переводом трактата Абу-ль-Вафы. Алпай Оздурал датировал его приблизительно 1300 годом; трактат связывают с ильханидским Тебризом. В нём геометрические построения сопровождаются краткими указаниями на персидском, и многие фигуры прямо годятся для орнамента. По заключению Оздурала, оба текста показывают, как математики учили ремесленников геометрии — через разрезание и перекладывание фигур и через построения, которые можно было использовать в декоре. В 2017 году трактат был издан с переводом и исследованиями Неджипоглу, Ян Хогендейк, Элахе Хейрандиш и Уилера Такстона в серии приложений к журналу Muqarnas. Тимуридская эпоха добавляет к этому Гияс ад-Дина Джамшида аль-Каши, который в XV веке разработал способ измерения поверхностей мукарнов, — Неджипоглу использовала его рассуждения для анализа одного из чертежей свитка Топкапы.
Ни один из этих текстов не описывает плитки гирих, и ни один нельзя связать с конкретной исфаханской постройкой. В 1989 году в журнале Computers and Mathematics with Applications одну фигуру из анонимного трактата сопоставили с очертаниями плиток Пенроуза; Лу и Стейнхардт специально оговорили, что никаких указаний на замощение там нет. Тексты свидетельствуют о другом: в X–XIV веках между учёной геометрией и ремеслом существовал канал, и по нему передавались именно те операции, из которых можно собрать плитки гирих. Как широк был этот канал и доходил ли он до мастерских, выкладывавших мозаику в Исфахане, источники не сообщают.
Назад к исфаханской пазухе. Лу и Стейнхардт опубликовали фотографию её правой половины, сделанную К. Дадли и М. Эллифф, и разобрали оба уровня. Крупный узор из толстых линий складывается из горстки больших десятиугольников и «бабочек». Мелкий целиком собирается из плиток гирих; на опубликованном фрагменте их 231. Связь между уровнями задаёт правило подразбиения: каждая крупная «бабочка» и каждый крупный десятиугольник заполняются мелкими плитками строго определённым образом. Это же правило авторы нашли ещё в одной композиции Дарб-и Имама, в тимпане портала, и на портале северо-западного айвана Пятничной мечети Исфахана. Именно здесь их аргумент делает решающий шаг. Если правило подразбиения применять снова и снова, можно построить сколь угодно большой узор того же типа. В таком узоре отношение числа вытянутых шестиугольников к числу «бабочек» стремится к золотому сечению — к тому же числу, что и отношение змеев к дротикам у Пенроуза, — а иррациональность этого отношения показывает, что узор квазипериодичен.
Второй шаг — прямой перевод на язык Пенроуза. Каждую плитку гирих можно разрезать на змеев и дротиков: вытянутый шестиугольник и «бабочку» двумя способами каждый, десятиугольник — десятью, поскольку разрез нарушает их зеркальную симметрию. Выбор между вариантами авторы делали так, чтобы свести к минимуму несовпадения краёв. После такого перевода и крупный, и мелкий узоры пазухи превращаются в мозаику Пенроуза, и на 3700 полученных плиток приходится 11 несоответствий. Все они точечные: каждое устраняется, если поменять местами пару соседних плиток — «бабочку» и шестиугольник, — не трогая остального узора. Лу и Стейнхардт сочли их ошибками, которые мастер мог допустить при выкладке или ремонте сложного узора. Отсюда и формула «почти совершенный».
Сами авторы при этом выставили своему выводу три ограничения, которые в пересказах обычно опускают. У исламских мастеров, писали они, не видно никаких следов правил сопряжения — второго, независимого от подразбиения пути к мозаикам Пенроуза. Есть дефекты. И главное: мастера начинали не с одной крупной плитки, а с небольшой группы плиток, которая в мелком узоре не встречается, так что, строго говоря, узор не самоподобен, хотя многократное применение правила и привело бы к тому же иррациональному отношению. По их словам, изученные примеры немного не дотягивают до совершенных квазикристаллов, а мастера понимали элементы системы не полностью. Подлинное утверждение статьи осторожнее заголовков: у средневековых мастеров были все концептуальные элементы для построения квазикристаллических узоров, и пазуха Дарб-и Имама показывает, как далеко они их довели.
Насколько вообще к стене приложимо слово «квазипериодический»? Ответ требует точности, потому что у этого слова несколько значений. Лу и Стейнхардт пользуются определением через частоты: разные плитки повторяются с несоизмеримыми частотами, отношение которых нельзя выразить отношением целых чисел. Кромвелл в разборе 2009 года называет замощение квазипериодическим, если у него нет периода, если в нём конечное число форм плиток в конечном числе ориентаций (это называют конечной локальной сложностью) и если оно повторяемо в описанном выше смысле. Кристаллографы добавляют своё требование — резкие пятна на дифракционной картине. Все три определения относятся к бесконечным объектам. По конечному куску нельзя установить ни периодичность, ни её отсутствие: любой конечный фрагмент совместим и с периодическим продолжением, и с непериодическим. Поэтому всё, что можно сказать о стене, сводится к вопросу, существует ли процесс, построенный из элементов самого узора, который порождает видимый фрагмент и может быть продолжен до квазипериодического замощения всей плоскости.
Такой процесс у Лу и Стейнхардта есть только в потенции. На стене выполнено одно подразбиение, а не цепочка. Чтобы повторять его, нужно знать, как разбивать на мелкие плитки и вытянутый шестиугольник, а в исфаханских узорах такого правила нет — там подразбиваются только «бабочки» и десятиугольники. Кромвелл сам придумал недостающее подразбиение, стараясь сохранить черты исфаханских образцов, и признал, что результат получился неуклюжим и представляет скорее математический интерес. Коэффициент масштаба между уровнями в исфаханских композициях он вычислил как 4 + 2√5 ≈ 8,47, то есть удвоенный куб золотого сечения; при таком коэффициенте уже после двух шагов из одного десятиугольника вырастает около 15 000 плиток. Золотое сечение возникает здесь по самой прозаической причине — из той же геометрии правильного пятиугольника. А иррациональное отношение шестиугольников к «бабочкам» есть свойство предела бесконечного процесса, которого на стене нет: у реального узора всегда конечное, а значит, рациональное число плиток каждого вида. Никаких текстов, придающих этому числу особый смысл, в средневековых источниках по орнаменту не найдено.
Пресса, впрочем, читала аннотацию, а не оговорки. Новостная заметка в Nature, вышедшая 22 февраля 2007 года, накануне публикации, вынесла в подзаголовок, что мусульманские художники на 500 лет опередили западных исследователей, и сообщала, что узор Дарб-и Имама почти идентичен мозаикам Пенроуза, открытым в 1973 году. Там же приводилось осторожное предположение самого Лу о том, что сходство было вполне преднамеренным. Physics World пересказал слова Лу так, будто исламские математики воплотили своё знание о квазикристаллах в наборе из пяти плиток, и привёл его замечание, что дефекты исчезли бы, если перевернуть несколько плиток. Майский номер Scientific American сообщил, что узоры гирих могли быть точно построены только при помощи пяти плиток. Дальше формулы зажили собственной жизнью: один частный фонд объявил конкурс на исследование метафизического и космологического смысла квазикристаллической структуры исламских орнаментов, утверждая, что мастера глубоко понимали математические свойства своих плиток. Кромвелл позже коротко заметил, что значительная часть газетного освещения преувеличила и исказила фактические результаты.
Если сопоставить эти формулы с текстом статьи, картина получается такая. Допустимым упрощением можно считать утверждение, что узор Дарб-и Имама очень близок к мозаике Пенроуза и может быть переведён в неё с небольшим числом дефектов: это ровно то, что Лу и Стейнхардт показали, хотя «близок» здесь означает «после выбора разрезания, минимизирующего несовпадения». Преувеличением следует признать утверждения, будто мастера знали о квазикристаллах, будто только пять плиток позволяли построить такие узоры и будто циркуль и линейку отбросили: в статье этого нет, а часть прямо ей противоречит. Формула о «пятистах годах» восходит к самой аннотации, но держится на одной дате, которую до поры никто не проверял.
Научная реакция последовала быстро и началась со спора о первенстве. В том же номере Science журналист Джон Боханнон рассказал, что результат вызвал недовольство ещё до выхода: датский кристаллограф Эмиль Маковицкий из Копенгагенского университета в 1992 году, в сборнике «Fivefold Symmetry» под редакцией Иштвана Харгиттаи, описал узор Гумбад-и Кабуда как восьмисотлетнее пятиугольное замощение, родственное мозаикам Пенроуза, и вывел из него новые варианты апериодических замощений. Лу и Стейнхардт на эту работу ссылались, но, по мнению критиков, так, что приоритет Маковицкого оставался в тени; в письме в Science (том 316, с. 982) они затем выразили готовность признать заслуги предшественников. Обозреватель Nature Materials Филип Болл в июле 2007 года посвятил этой распре колонку под язвительным названием «Tendentious tilings» и заметил, что недоволен был не один Маковицкий. 30 ноября 2007 года Science напечатал его технический комментарий и ответ авторов. Маковицкий утверждал, что узор Дарб-и Имама периодичен, а наложенные на его решётку квазикристаллические «диски» восходят к марагинскому узору; по его мнению, мастера были довольны тем, что создали большую фундаментальную область, и не заботились о математическом понятии бесконечно продолжаемого квазипериодического узора. Лу и Стейнхардт ответили, что оба памятника принадлежат одной последовательности узоров, сводимых к общему набору плиток, так что местное сходство ожидаемо, но Дарб-и Имам — единственный известный пример, который не повторяется периодически и допускает самоподобное преобразование, позволяющее продолжать его бесконечно. Ирония в том, что в самой статье Лу и Стейнхардт отводили марагинский узор как раз на том основании, что Маковицкий сам признавал его периодичным, а значит, по определению не являющимся квазипериодической мозаикой Пенроуза.
Самый подробный математический разбор дал Кромвелл в журнале The Mathematical Intelligencer в 2009 году. Начал он с предостережения против двух логических ошибок. Первая — абстракция: мастер знал X, X есть пример Y, следовательно, мастер знал Y. Вторая — дедукция: мастер знал X, из X следует Y, следовательно, он знал Y. В обоих случаях мастер, скорее всего, вообще не думал об Y, а если и думал, мог не связывать его с X. Затем Кромвелл показал, что крупный уровень всех трёх исфаханских двухуровневых композиций — полосы на портале Пятничной мечети, пазухи и тимпана Дарб-и Имама — представляет собой участки одного и того же периодического замощения десятиугольниками и «бабочками», которое лежит в основе одного из самых древних и распространённых десятиугольных узоров, со звёздами и «воздушными змеями» между ними. В узоре Пятничной мечети сдвиг вдоль одного направления виден прямо. Отсутствие явного повтора на пазухе он объяснил не расчётом на неоднозначность, а эстетическими соображениями и соотношением размеров мелких изразцов с площадью поля. Начальная группа крупных плиток, которую Лу и Стейнхардт назвали произвольным и ненужным выбором, по Кромвеллу, вовсе не произвольна: это хорошо знакомый средневековому зрителю узор, узнаваемый по малому фрагменту.
Его выводы сформулированы как пять пунктов, и каждый очерчивает границу между доказанным и предположенным. Из исторического набора плиток действительно можно строить квазипериодические замощения — и подразбиением, и правилами сопряжения с размеченными плитками. Исламские мастера действительно пользовались подразбиением для двухуровневых композиций, примеры есть в свитке Топкапы и в трёх исфаханских постройках. Свидетельств повторения подразбиения нет: все известные Кромвеллу узоры двухуровневые, а по правилам свитка повторение и вовсе невозможно. Правил сопряжения мастера не применяли; длинные прямые линии, напоминающие так называемые полосы Аммана, возникают как побочный продукт построения. И разобранные узоры не свидетельствуют о том, что мастера знали процесс, способный порождать квазипериодические узоры: эти узоры периодичны, порождены отражениями прямоугольника или обладают радиальной симметрией, а их многоуровневость иерархическая, а не масштабно-инвариантная. Различие последних двух понятий существенно. Самоподобие в строгом смысле означает, что существует преобразование подобия, переводящее узор в себя целиком. Иерархическим называют узор, в котором разные уровни устроены сходно, но не являются точными копиями друг друга, и исфаханские пазухи относятся именно ко второму роду. В 2015 году Кромвелл вернулся к теме в статье о когнитивных искажениях в притязаниях на квазипериодичность традиционных исламских узоров.
Тщательный разбор позволил Кромвеллу рассмотреть и отклонения, отличающие тимпан Дарб-и Имама от симметрично безупречной схемы, и предложить им другое объяснение, чем «ошибки исполнения». В правом верхнем углу центральной крупной «бабочки» пара «бабочка — шпулька» перевёрнута; такие же пары перевёрнуты в углах верхнего крупного десятиугольника; у нижнего конца изогнутого края с каждой стороны мелкий десятиугольник заменён другой комбинацией плиток. Изменения в углах десятиугольника сделаны во всех углах одинаково и, вероятно, намеренно; замена десятиугольников могла облегчить вписывание мозаики в нишу. Лишь перевёрнутая «бабочка» похожа на настоящую оплошность мастера. Отклонения, которые в переводе на язык Пенроуза выглядят дефектами, на языке мастерской могут оказаться решениями.
Джей Боннер, изучивший эти композиции раньше всех — его доклад о трёх традициях самоподобия в исламском орнаменте XIV–XV веков был прочитан на конференции ISAMA/Bridges в Гранаде в 2003 году, — предложил для арки Дарб-и Имама собственную схему подразбиения, опирающуюся на другую крупную сетку. В итоговой книге 2017 года, где многоугольный метод изложен на сотнях иллюстраций, он остаётся скептиком в вопросе о квазикристаллических узорах. Питер Зальцман занял более благожелательную позицию и показал, что двойственные преобразования квазипериодических фрагментов из двух иранских узоров XII и XV веков помогают понять их эстетическую сложность. Картина, складывающаяся из всех этих работ, вполне определённа. Многоугольный метод и двухуровневые композиции, построенные подразбиением, признаны всеми. Плитки гирих приняты как удачное описание большого класса десятиугольных узоров, хотя набор этот не единственный. Физические шаблоны остаются недоказанным предположением. Квазипериодичность исфаханских узоров и осознанное стремление мастеров к ней большинство специалистов по исламскому орнаменту не принимает, и авторы 2007 года тут остаются в меньшинстве.
Оставалась дата. На ней держалась и подпись под фотографией, и заголовок о пятистах годах, и, как ни странно, ни сторонники, ни критики её не оспаривали. Первоначальная постройка Дарб-и Имама действительно датирована надёжно. Исфахан был захвачен правителем туркменской династии Кара-Коюнлу Джахан-шахом (годы правления 841–872 по хиджре, то есть 1438–1467) за два года до начала строительства; наместником города стал его сын Мухаммади-мирза, а возвести святилище взялся его воспитатель, эмир Джалал ад-Дин Сафар-шах. Надпись белым почерком сулюс на тёмно-синем фоне, опоясывающая портал, называет всех троих, но её окончание утрачено. Историк Джалал ад-Дин Хумаи предложил восстановить его по росписи в вестибюле, и в восстановленном виде надпись сообщает, что Сафар-шах, ища благоволения Всевыш-го, предпринял возведение святилища в 857 году; стихотворная надпись под малым куполом вестибюля тоже датирована 857 годом. Этот год хиджры почти целиком совпадает с 1453 годом нашей эры. Архнет связывает первую постройку и с гробницей матери Джахан-шаха. Позже здесь почитали погребения двух потомков имамов, Ибрахима Батха и Зайн аль-Абидина, по которым комплекс и известен.
Но от 1453 года осталось немногое: портал, вестибюль и гробница. Энциклопедия «Ираника» в статье Парвиза Варджаванда, опубликованной в 1994 году, описывает портал как образец мозаики, сравнимой с работами в Голубой мечети Тебриза, и уточняет, что пазухи его арки заполнены симметричными композициями из виноградных лоз и цветов, а геометрические панели с десятилучевыми звёздами украшают боковые стены его внутреннего пространства. Дальше начинается сефевидская история. Вестибюль постепенно заполнили надгробия, и при шахе Сулеймане (1666–1694) первоначальный вход пришлось закрыть, заменив дверь окном с решёткой из звёздчатого плетения. Над вестибюлем поднялся новый купол с надписью 1081 года хиджры (1671). А в 1127 году хиджры, то есть в 1715 году, шах Султан Хусейн пристроил к старому зданию с востока новый портал. Над его входом помещена арабская надпись на квадратных изразцах о поновлении святилища, подписанная неким Абд ар-Рахимом и датированная 1129 годом (1717). Выше надписи, сообщает Варджаванд, тимпан облицован мозаикой с геометрическим узором. Тогда же к святилищу пристроили три двора — с севера, востока и запада.
Первоначальный северный портал Дарб-и Имама, построенный при Кара-Коюнлу в 857/1453 году.
В 2018 году бельгийский исследователь Люк Лауверс из Лёвенского католического университета сопоставил эти описания с фотографиями и опубликовал в Nexus Network Journal заметку под названием «Darb-e Imam Tessellations: A Mistake of 250 Years». Тимпан, который Лу и Стейнхардт привели в приложении как «портал Дарб-и Имама (1453)», — это тимпан над нынешним входом, то есть над сефевидским порталом 1715 года, прямо под ним стоит дата 1129; на краю фотографии виден треугольник старого портала 1453 года с цветочным узором. Знаменитая пазуха находится в северном дворе, пристроенном тогда же. Лауверс привёл и стилистические доводы. По каталогу двухуровневых узоров Ирана и Средней Азии, который составил Кромвелл, четыре исфаханские композиции — тимпан и пазуха Дарб-и Имама, панель западного айвана Пятничной мечети и панель медресе Чахар-Баг — обладают одним и тем же сочетанием признаков, включая коэффициент масштаба 4 + 2√5 и приём, при котором крупный узор выложен тонкой врезанной линией, и больше ни у одной композиции каталога такого сочетания нет. Изразцовая отделка западного айвана Пятничной мечети несёт дату 1112 года хиджры (1700), медресе Чахар-Баг строили в 1704–1710 годах, оба памятника относятся к правлению того же Султан Хусейна. Ещё один признак — жёлтый цвет, заметный в палитре всех четырёх композиций и характерный для поздних сефевидских мозаик.
Ошибка оказалась на редкость живучей: Лауверс перечислил более двух десятков публикаций, повторявших дату 1453 год, и среди них работы не только сторонников, но и критиков — Маковицкого, Кромвелла, Боннера, Бир. Боннер в 2003 году опирался на альбом Хатта и Хэрроу 1979 года, источник не слишком подробный, тогда как классическое исследование тимуридской архитектуры Лизы Голомбек и Доналда Уилбера 1988 года и статья в «Иранике» прямо описывали позднесефевидские перестройки. Самое любопытное обнаруживается в примечаниях к статье в Science: среди источников о Дарб-и Имаме Лу и Стейнхардт указали книгу Голомбек и Уилбера с теми самыми страницами 384–386, где, по Лауверсу, и описано раннее тимуридское здание, перестроенное в конце сефевидской эпохи. Лауверс честно оставил одну лазейку: слово та‘мир в надписи 1129 года означает и строительство, и ремонт, и поновление, так что формально нельзя исключить, что панель старше и была сохранена при перестройке. Но вход, над которым она находится, к первоначальному тимуридскому зданию не принадлежит. На странице Стейнхардта, посвящённой исламским мозаикам, формула о пяти столетиях сохраняется и сегодня.
Если принять датировку 1715–1717 годов, «пятьсот лет» сокращаются примерно до двухсот пятидесяти. И хронология, казавшаяся проблемой, переворачивается. Свиток Топкапы больше не моложе узора: он старше пазухи по меньшей мере на два столетия, и двухуровневые композиции, построенные подразбиением, известны по нему с конца XV — начала XVI века. Лауверс подчеркнул, что поздняя датировка исфаханской четвёрки не означает позднего происхождения самих узоров: мастера располагали альбомами вроде свитка и имели перед глазами старые образцы; самая ранняя двухуровневая композиция в каталоге Кромвелла — узор в Варзане, датированный 1443 годом. Поздним оказывается приём — двухуровневый узор с врезанной линией крупного рисунка и именно этим коэффициентом масштаба. Исфахан не совершил прыжка через пять столетий. Он стоит в конце длинной цепочки, начавшейся по меньшей мере в Мараге в 1196–1197 годах и прошедшей через Анатолию, Багдад, Тебриз и Герат.
Что же должны были понимать мастера, выложившие пазуху? Многое, и это знание вполне конкретно. Они владели системой углов, кратных 36 градусам, и правилом, по которому линии пересекают середины сторон, так что узор продолжается через любую стыковку. Они знали, как вписать мелкие плитки в крупные так, чтобы стороны крупной фигуры складывались из сторон и диагоналей мелких, а это требует точного согласования длин, иррациональные отношения которых задаёт пятиугольник. Они умели подогнать бесконечный по замыслу узор к конечному полю неправильной формы и выбирали, где пожертвовать симметрией, чтобы мозаика легла в нишу. Они рассчитывали, как узор будет восприниматься с разных расстояний. И, по всей видимости, интуитивно чувствовали кристаллографическое ограничение: Кромвелл допускает, что узоры с множеством пятикратных центров привлекали именно иллюзией свободы от этого закона. Чего мы не можем доказать, так это знания о бесконечном повторении подразбиения, о правилах, запрещающих периодичность, об иррациональных частотах плиток и о самом понятии узора, который не повторяется нигде. Письменных следов такого знания нет, а сохранившиеся узоры его не требуют. Мастера, по выражению Кромвелла, располагали инструментами для построения квазипериодических узоров, но не теоретической рамкой, которая позволила бы оценить такую возможность и её значение. Принижать их это не должно. Знание, позволяющее строить на стене иерархический узор в два масштаба без единой накопленной ошибки, передавалось чертежами без слов — свиток Топкапы не содержит ни строчки объяснений — и жило в руках и глазах, а не в доказательствах.
Абу-ль-Вафа за тысячу лет до этого спора упрекал геометров в недостатке практики, а ремесленников — в незнании доказательства. Спор 2007 года почти буквально повторил это разделение: физики увидели в узоре бесконечную структуру, историки архитектуры — конечную стену с конкретной биографией. Правы оказались и те и другие, каждый в своём. Структура, которую разглядели Лу и Стейнхардт, действительно содержит элементы, из которых математика 1970-х годов построила теорию квазипериодических мозаик. А стена, на которой эту структуру нашли, рассказывает о мастерской Исфахана начала XVIII века, унаследовавшей язык, выработанный за пять столетий до неё. Узел, как и положено узлу, оказался затянут туже, чем казалось, и развязали его не пять плиток, а надпись над дверью.
Источники
Абу-л-Вафа ал-Бузджани. Книга о том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений / Пер. С. А. Красновой // Физико-математические науки в странах Востока. Вып. 1. М.: Наука, 1966. С. 56–130.
Abu’l-Wafā Būzjānī // Encyclopaedia Iranica. URL: https://www.iranicaonline.org/articles/abul-wafa-buzjani/.
Ball P. Tendentious tilings // Nature Materials. 2007. Vol. 6, no. 7. P. 476. DOI: 10.1038/nmat1945.
Berger R. The undecidability of the domino problem // Memoirs of the American Mathematical Society. 1966. No. 66.
Bier C. Taking Sides, but Who’s Counting? The Decagonal Tomb Tower at Maragha // Proceedings of Bridges 2011: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. 2011. P. 497–500.
Bindi L., Steinhardt P. J., Yao N., Lu P. J. Natural Quasicrystals // Science. 2009. Vol. 324, no. 5932. P. 1306–1309. DOI: 10.1126/science.1170827.
Bonner J. Islamic Geometric Patterns: Their Historical Development and Traditional Methods of Construction. New York: Springer, 2017.
Bonner J. Three Traditions of Self-Similarity in Fourteenth and Fifteenth Century Islamic Geometric Ornament // ISAMA/Bridges Conference Proceedings / Ed. R. Sarhangi, N. Friedman. Granada: University of Granada, 2003. P. 1–12.
Cromwell P. R. Cognitive Bias and Claims of Quasiperiodicity in Traditional Islamic Patterns // The Mathematical Intelligencer. 2015. Vol. 37, no. 4. P. 30–44.
Cromwell P. R. The Search for Quasi-Periodicity in Islamic 5-fold Ornament // The Mathematical Intelligencer. 2009. Vol. 31, no. 1. P. 36–56. DOI: 10.1007/s00283-008-9018-6.
Darb-i Imam // Archnet. URL: https://archnet.org/sites/3901.
Gardner M. Mathematical Games // Scientific American. 1977. Vol. 236, no. 1 (January). P. 110–121.
Gonbad-e Kabūd // Iran Gazetteer, University of California, Los Angeles. URL: https://irangazetteer.ucla.edu/catalogue/gonbad-e-kabud.
Islamic tiles reveal sophisticated maths // Nature News. Published online 22.02.2007. DOI: 10.1038/news070219-9.
Johnston H. Islamic ‘quasicrystals’ predate Penrose tiles // Physics World. 22.02.2007. URL: https://physicsworld.com/a/islamic-quasicrystals-predate-penrose-tiles/.
Lauwers L. Darb-e Imam Tessellations: A Mistake of 250 Years // Nexus Network Journal. 2018. Vol. 20. P. 321–329. DOI: 10.1007/s00004-018-0391-y.
Levine D., Steinhardt P. J. Quasicrystals: A New Class of Ordered Structures // Physical Review Letters. 1984. Vol. 53. P. 2477–2480. DOI: 10.1103/PhysRevLett.53.2477.
Lu P. J., Deffeyes K., Steinhardt P. J., Yao N. // Physical Review Letters. 2001. Vol. 87. Art. 275507.
Lu P. J., Steinhardt P. J. Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture // Science. 2007. Vol. 315, no. 5815 (23 February). P. 1106–1110. DOI: 10.1126/science.1135491. Supporting Online Material: Figs. S1–S8.
Lu P. J., Steinhardt P. J. Response to Comment on “Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture” // Science. 2007. Vol. 318, no. 5855 (30 November). P. 1383b.
Makovicky E. 800-year-old Pentagonal Tiling from Maragha, Iran, and the New Varieties of Aperiodic Tiling It Inspired // Fivefold Symmetry / Ed. I. Hargittai. Singapore: World Scientific, 1992. P. 67–86.
Makovicky E. Comment on “Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture” // Science. 2007. Vol. 318 (30 November). P. 1383a.
Medieval Quasicrystals // Scientific American. 2007. Vol. 296, no. 5. P. 36. DOI: 10.1038/scientificamerican0507-36c.
Necipoğlu G. (ed.). The Arts of Ornamental Geometry: A Persian Compendium on Similar and Complementary Interlocking Figures (Fī tadākhul al-ashkāl al-mutashābiha aw al-mutawāfiqa; Bibliothèque nationale de France, Ms. Persan 169, fols. 180r–199r). With contributions by J. P. Hogendijk, E. Kheirandish, G. Necipoğlu, A. Özdural, W. M. Thackston. Leiden; Boston: Brill, 2017. (Studies and Sources in Islamic Art and Architecture: Supplements to Muqarnas, 13).
Necipoğlu G. The Topkapı Scroll: Geometry and Ornament in Islamic Architecture. Topkapı Palace Museum Library MS H. 1956. With an essay on the geometry of the muqarnas by Mohammad al-Asad. Santa Monica: Getty Center for the History of Art and the Humanities, 1995.
Nobel Prize in Chemistry honors the discovery of quasicrystals // Physics Today. 01.12.2011. URL: https://physicstoday.aip.org/news/nobel-prize-in-chemistry-honors-the-discovery-of-quasicrystals (дата обращения: 20.10.2026).
Özdural A. Mathematics and Arts: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World // Historia Mathematica. 2000. Vol. 27, no. 2. P. 171–201. DOI: 10.1006/hmat.1999.2274.
Penrose R. Pentaplexity: A Class of Non-Periodic Tilings of the Plane // The Mathematical Intelligencer. 1979. Vol. 2. P. 32–37 (впервые: Eureka. 1978. No. 39). DOI: 10.1007/BF03024384.
Penrose R. The Role of Aesthetics in Pure and Applied Mathematical Research // Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications. 1974. Vol. 10, no. 7/8. P. 266–271.
Robinson R. M. Undecidability and Nonperiodicity for Tilings of the Plane // Inventiones Mathematicae. 1971. Vol. 12. P. 177–209.
Saltzman P. Quasi-Periodicity in Islamic Geometric Design // Architecture and Mathematics from Antiquity to the Future / Ed. K. Williams, M. J. Ostwald. Cham: Springer, 2015. P. 585–602. DOI: 10.1007/978-3-319-00137-1_39.
Shechtman D. Banquet Speech, 10 December 2011 // NobelPrize.org. URL: https://www.nobelprize.org/prizes/chemistry/2011/shechtman/speech/.
Shechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn J. W. Metallic Phase with Long-Range Orientational Order and No Translational Symmetry // Physical Review Letters. 1984. Vol. 53. P. 1951–1953.
Smith D., Myers J. S., Kaplan C. S., Goodman-Strauss C. An Aperiodic Monotile. arXiv:2303.10798. 2023.
Steinhardt P. J. Islamic Quasicrystal Tilings. URL: https://paulsteinhardt.org/islamic-tilings/.
The Tiles of Infinity // Saudi Aramco World. 2009. Vol. 60, no. 5 (September/October). URL: https://archive.aramcoworld.com/issue/200905/the.tiles.of.infinity.htm.
Varjavand P. Darb-e Emām // Encyclopaedia Iranica. Vol. VII, fasc. 1. 1994. P. 11–13. URL: https://www.iranicaonline.org/articles/darb-e-emam/.
Wang H. Proving Theorems by Pattern Recognition — II // Bell System Technical Journal. 1961. Vol. 40, no. 1. P. 1–41.
